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拟合方法——leastsq

1. 概念:

scipy官网对该方法介绍是: 最小化一组方程的平方和

# 参数:func: 所求平方和最小值的函数，一般都用于拟合时传入残差函数，当然也有其他用途，比如求函数的最小等等x0: ndarray  一般为参数的初始值args: 元组，可选，可以传入(x, y)其中x,y都是数组，作为求解传入的参数

# 返回值leastsq的返回值是一个元组，里面包含了很多信息，如果是用作拟合的话，返回值的索引值为0的元素即为我们所求函数参数

有兴趣的读者可以自己看看官网介绍:

2. 使用:

1. 求最小值

比如求$2(x-3{)}^2+1$的最小值:

from scipy.optimize import leastsqdef func(x):    return 2*(x-3)**2+1print(leastsq(func, 0))   # 0为x的初始值，初始值可以由自己定,改成任意一个随机值都可以

结果为:

(array([2.99999999]), 1)

当$x=2.99999999\approx 3$时，函数最小值为1

2. 拟合

为了和上一篇文章形成一个比较，我们这里也进行1-5阶的多项式拟合。

1. 定义要拟合的函数关系式 (因为我们这里函数关系式是多项式，所以就用np.ploy1d获取了多项式了)

   from scipy.optimize import leastsq# 拟合数据集x = [4, 8, 10, 12, 25, 32, 43, 58, 63, 69, 79]y = [20, 33, 50, 56, 42, 31, 33, 46, 65, 75, 78]x_arr = np.array(x)y_arr = np.array(y)def fitting_func(p, x):   """   获得拟合的目标数据数组   :param p: array[int] 多项式各项从高到低的项的系数数组   :param x: array[int] 自变量数组   :return: array[int] 拟合得到的结果数组   """   f = np.poly1d(p)    # 获得拟合后得到的多项式   return f(x)         # 将自变量数组带入多项式计算得到拟合所得的目标数组

   如果想要拟合的是其他函数，那只需要将 f = np.poly1d(p)改为你想要拟合的函数关系式即可。
2. 定义残差计算函数

   def error_func(p, x, y):"""计算残差:param p: array[int] 多项式各项从高到低的项的系数数组:param x: array[int] 自变量数组:param y: array[int] 原始目标数组(因变量):return: 拟合得到的结果和原始目标的差值"""err = fitting_func(p, x) - yreturn err

   残差有很多计算方法，这里因为leastsq方法本身就会将我们的残差函数平方，所以这里我们直接相减，在经过leastsq方法的平方后就变为了最小二乘法了。
3. 获取参数

   def n_poly(n, x, y):   """   n 次多项式拟合函数   :param n: 多项式的项数(包括常数项)，比如n=3的话最高次项为2次项   :return: 最终得到的系数数组   """   p_init = np.random.randn(n)   # 生成 n个随机数，作为各项系数的初始值，用于迭代修正   parameters = leastsq(error_func, p_init, args=(np.array(x), np.array(y)))    # 三个参数：误差函数、函数参数列表、数据点   return parameters[0]	# leastsq返回的是一个元组，元组的第一个元素时多项式系数数组[wn、...、w2、w1、w0]

4. 函数定义好后，就可以进行拟合了(这里计算拟合优度的方法goodness_of_fit在我前面的文章有: )
   一阶

   para_2 = n_poly(2, x_arr, y_arr)  # 一阶print("系数为:", para_2)print("多项式为:", np.poly1d(para_2))print("拟合值为:", fitting_func(para_2, x_arr))print("拟合优度为:", goodness_of_fit(fitting_func(para_2, x_arr), y_arr))

   二、三、四、五阶:

   para_3 = n_poly(3, x_arr, y_arr)  # 二阶para_4 = n_poly(4, x_arr, y_arr)  # 三阶para_5 = n_poly(5, x_arr, y_arr)  # 四阶para_6 = n_poly(6, x_arr, y_arr)  # 五阶

   这里解释一下为什么一阶传入n=2，二阶传入n=3…。因为这里的n表示的不是多项式的阶数，而是表示多项式的项数，比如二阶的多项式有$x^2、x$还有常数项三项，所以传入的n=3。
5. 得到拟合的数据后就可以作图了

   figure = plt.figure(figsize=(8,6))  plt.plot(x_arr, fitting_func(para_2, x_arr), color="#72CD28", label='一阶拟合曲线')  plt.plot(x_arr, fitting_func(para_3, x_arr), color="#EBBD43", label='二阶拟合曲线')  plt.plot(x_arr, fitting_func(para_4, x_arr), color="#50BFFB", label='三阶拟合曲线')  plt.plot(x_arr, fitting_func(para_5, x_arr), color="gold", label='四阶拟合曲线')  plt.plot(x_arr, fitting_func(para_6, x_arr), color="#13EAC9", label='五阶拟合曲线')  plt.scatter(x, y, color='#50BFFB', marker="p", label='原始数据')    plt.title("leastsq拟合", fontsize=13)  plt.xlabel('x', fontsize=13)  plt.ylabel('y', fontsize=13)  plt.legend(loc=4, fontsize=11)    # 指定legend的位置右下角  plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签  plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号  plt.show()

   这里我只输出了一阶的拟合结果，结果为:

   系数为: [ 0.5000123  29.77227653]多项式为:  0.5 x + 29.77拟合值为: [31.77232574 33.77237495 34.77239955 35.77242415 42.27258408 45.77267019		 51.27280552 58.77299004 61.27305155 64.27312537 69.27324839]拟合优度为: 0.5207874477394239

   结果图为:
   

全部代码为:

from scipy.optimize import leastsq# 拟合数据集x = [4, 8, 10, 12, 25, 32, 43, 58, 63, 69, 79]y = [20, 33, 50, 56, 42, 31, 33, 46, 65, 75, 78]x_arr = np.array(x)y_arr = np.array(y)def fitting_func(p, x):    """    获得拟合的目标数据数组    :param p: array[int] 多项式各项从高到低的项的系数数组    :param x: array[int] 自变量数组    :return: array[int] 拟合得到的结果数组    """    f = np.poly1d(p)    # 获得拟合后得到的多项式    return f(x)         # 将自变量数组带入多项式计算得到拟合所得的目标数组def error_func(p, x, y):    """    计算残差    :param p: array[int] 多项式各项从高到低的项的系数数组    :param x: array[int] 自变量数组    :param y: array[int] 原始目标数组(因变量)    :return: 拟合得到的结果和原始目标的差值    """    err = fitting_func(p, x) - y    return errdef n_poly(n, x, y):    """    n 次多项式拟合函数    :param n: 多项式的项数(包括常数项)，比如n=3的话最高次项为2次项    :return: 最终得到的系数数组    """    p_init = np.random.randn(n)   # 生成 n个随机数，作为各项系数的初始值，用于迭代修正    parameters = leastsq(error_func, p_init, args=(np.array(x), np.array(y)))    # 三个参数：误差函数、函数参数列表、数据点    return parameters[0]	# leastsq返回的是一个元组，元组的第一个元素时多项式系数数组[wn、...、w2、w1、w0]para_2 = n_poly(2, x_arr, y_arr)  # 一阶print("系数为:", para_2)print("多项式为:", np.poly1d(para_2))print("拟合值为:", fitting_func(para_2, x_arr))print("拟合优度为:", goodness_of_fit(fitting_func(para_2, x_arr), y_arr))para_3 = n_poly(3, x_arr, y_arr)  # 二阶para_4 = n_poly(4, x_arr, y_arr)  # 三阶para_5 = n_poly(5, x_arr, y_arr)  # 四阶para_6 = n_poly(6, x_arr, y_arr)  # 五阶figure2 = plt.figure(figsize=(8,6))plt.plot(x_arr, fitting_func(para_2, x_arr), color="#72CD28", label='一阶拟合曲线')plt.plot(x_arr, fitting_func(para_3, x_arr), color="#EBBD43", label='二阶拟合曲线')plt.plot(x_arr, fitting_func(para_4, x_arr), color="#50BFFB", label='三阶拟合曲线')plt.plot(x_arr, fitting_func(para_5, x_arr), color="gold", label='四阶拟合曲线')plt.plot(x_arr, fitting_func(para_6, x_arr), color="#13EAC9", label='五阶拟合曲线')plt.scatter(x_arr, y_arr, color='#50BFFB', marker="p", label='原始数据')plt.title("leastsq拟合", fontsize=13)plt.xlabel('x', fontsize=13)plt.ylabel('y', fontsize=13)plt.legend(loc=4, fontsize=11)    # 指定legend的位置右下角plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号plt.show()

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